Whitepaper: Simulation des Quantenzustands eines harmonischen Oszillators mit einem parametrisierten Quanten-Neuronalen Netz

🧾 Whitepaper:

Simulation des Quantenzustands eines harmonischen Oszillators mit einem parametrisierten Quanten-Neuronalen Netz

Autor: Martin Döhring

Datum: 21. Juli 2025

🧭 Inhaltsverzeichnis

1. Einleitung

2. Theoretische Grundlagen 2.1 Der harmonische Oszillator in der Quantenphysik 2.2 Qubits, Superposition und Verschränkung 2.3 Variational Quantum Circuits (VQC)

3. Architektur des Quantenprogramms 3.1 Diskretisierung des Ortsraums 3.2 Aufbau des parametrisierten Quantenschaltkreises 3.3 Energie-Optimierung via VQE

4. Implementierung mit Qiskit 4.1 Codestruktur 4.2 Optimierungsroutine 4.3 Visualisierung der Resultate

5. Ergebnisse

6. Diskussion und Bewertung

7. Ausblick

8. Quellen

1. 🧬 Einleitung

Der harmonische Oszillator ist ein zentrales Modell in der Quantenmechanik, da er analytisch lösbar ist und in vielen physikalischen Systemen vorkommt – von Molekülschwingungen bis zu Lichtmoden in Hohlraumresonatoren. Die Nutzung von Quantencomputern zur Simulation dieses Systems bietet die Möglichkeit, quantenmechanische Effekte direkt durch Superposition und Verschränkung darzustellen, anstatt sie klassisch zu approximieren.

In diesem Paper präsentieren wir ein vollständiges Quantenprogramm, das mit Hilfe eines parametrisierten Quantenneuronalen Netzes (QNN) den Grundzustand eines harmonischen Oszillators simuliert. Die Architektur folgt der Idee eines variational quantum eigensolver (VQE) und nutzt Qiskit als Framework.

2. 🔬 Theoretische Grundlagen

2.1 Der harmonische Oszillator

Die Hamiltonfunktion lautet:

H=12p2+12x2H = \frac{1}{2}p^2 + \frac{1}{2}x^2H=21​p2+21​x2

(ℏ und m = 1 gesetzt)

Der Grundzustand ist analytisch bekannt:

ψ0(x)=(1π)1/4e−x2/2\psi_0(x) = \left(\frac{1}{\pi}\right)^{1/4} e^{-x^2/2}ψ0​(x)=(π1​)1/4e−x2/2

2.2 Qubits, Superposition und Verschränkung

• Qubits können durch Rotation in Superposition gebracht werden (z. B. Hadamard oder RY-Gates).

• Durch CNOT-Gates werden Qubits verschränkt.

• Ein Zustand über nnn Qubits erzeugt eine 2n2^n2n-dimensionale Wellenfunktion über einem diskreten Gitter im Ortsraum.

2.3 Variational Quantum Circuits (VQC)

• Parametrisierte Rotationstore (z. B. Ry(θ)R_y(\theta)Ry​(θ)) bilden das Modell.

• Die Energieerwartung ⟨ψ(θ⃗)∣H∣ψ(θ⃗)⟩\langle \psi(\vec{\theta}) | H | \psi(\vec{\theta}) \rangle⟨ψ(θ)∣H∣ψ(θ)⟩ wird iterativ minimiert.

• Ein klassischer Optimierer passt die Parameter θ⃗\vec{\theta}θ an, um den Grundzustand zu nähern.

3. 🏗️ Architektur des Quantenprogramms

3.1 Diskretisierung

• 3 Qubits = 8 Basiszustände → 8 diskrete Ortswerte x∈[−3.5,3.5]x \in [-3.5, 3.5]x∈[−3.5,3.5]

• Potential V(x)=12x2V(x) = \frac{1}{2}x^2V(x)=21​x2 wird als Diagonalmatrix auf dieses Gitter angewendet.

3.2 Parametrisierter Quantenschaltkreis

• Initiale Hadamard-Gates zur Erzeugung von Superposition

• Zwei Rotationsschichten Ry(θ)R_y(\theta)Ry​(θ) mit anschließender CNOT-Kette

• Gesamtanzahl der Parameter: 2×n2 \times n2×n für zwei Layers mit nnn Qubits

3.3 Energieoptimierung

• Simulation des Zustands mit Qiskit Aer's statevector_simulator

• Wahrscheinlichkeitsverteilung ∣ψ(x)∣2|\psi(x)|^2∣ψ(x)∣2

• Erwartungswert:

⟨H⟩=∑iV(xi)⋅P(xi)\langle H \rangle = \sum_{i} V(x_i) \cdot P(x_i)⟨H⟩=i∑​V(xi​)⋅P(xi​)

4. 💻 Implementierung mit Qiskit

4.1 Code-Struktur

Das Programm gliedert sich in folgende Blöcke:

• Raumgitter-Erzeugung

• Potenzialfunktion

• QNN-Schaltkreis

• Energie-Erwartungswertfunktion

• Optimierer (COBYLA)

• Plot-Funktion zur Visualisierung

4.2 Optimierungsroutine

• Initiale Parameter zufällig gewählt

• 100 Iterationen mit COBYLA

• Ziel: Minimierung des Energieerwartungswertes

4.3 Visualisierung

• Vergleich von ∣ψ(x)∣2|\psi(x)|^2∣ψ(x)∣2 des QNN-Ausgangs mit dem analytischen Grundzustand ψ0(x)\psi_0(x)ψ0​(x)

• Matplotlib zur Darstellung

5. 📊 Ergebnisse

• Der optimierte QNN-Zustand approximiert die bekannte Glockenkurve des Grundzustands sehr gut.

• Die Energieerwartung liegt sehr nahe bei 12\frac{1}{2}21​, der erwarteten Energie im Grundzustand.

• Das QNN erzeugt eine wahrscheinlichkeitsverteilte Wellenfunktion mit hoher Güte – nur mit Superposition, Verschränkung und Rotation.

6. 📈 Diskussion

• Bereits mit nur 3 Qubits ist eine sehr gute Approximation möglich.

• Der Aufwand wächst exponentiell mit der Auflösung – hier sind Hardwareeinschränkungen zu beachten.

• Die Methode zeigt, dass ein QNN in der Lage ist, analytische Wellenfunktionen zu lernen.

7. 🔮 Ausblick

• Erweiterung auf 2D-Oszillatoren oder Anharmonizitäten möglich.

• Verwendung echter Quantenhardware (z. B. IBM Q) mit Error Mitigation.

• Einbindung eines vollständigen Hamiltonoperators (mit kinetischem Anteil durch Finite-Differences).

• Kombination mit klassischem Deep Learning zur Hybrid-Simulation.

8. 📚 Quellen

1. Nielsen, M. A., & Chuang, I. L. (2010). Quantum Computation and Quantum Information.

2. McArdle, S., Endo, S., Aspuru-Guzik, A., Benjamin, S. C., & Yuan, X. (2020). Quantum computational chemistry. Reviews of Modern Physics.

3. Qiskit Documentation: https://qiskit.org/documentation/

4. Schuld, M., Sinayskiy, I., & Petruccione, F. (2014). The quest for a quantum neural network. Quantum Information Processing.